Índice de Productividad en Pozos Horizontales

Empezando en la década de los 80’ del siglo XX, los pozos horizontales empezaron un importante incremento en la producción de hidrocarburos.

Probaron ser exitosamente para un gran número de aplicaciones las cuales incluyen en yacimientos delgados (h < 50 pies), petróleo pesado y yacimientos apretados (k < 0,1 mD) con múltiples etapas de fracturamiento hidráulico, en yacimientos con altas heterogeneidades, e inclusive en yacimientos de gran espesor con una buena permeabilidad vertical (kv).

En la Figura 1 se presenta el patrón de drenaje de un pozo horizontal con una longitud L.

El concepto de pozo horizontal es extender el contacto con el yacimiento, permitiendo el cambio del patrón de flujo radial tradicional observado en pozos verticales a una combinación de flujo radial, lineal y elíptico.

Entre otras ventajas, es que el pozo horizontal permite una reducción significativa de la conificación del agua y/o gas.

Una importancia particular en la producción de pozos horizontales es la anisotropía de la permeabilidad horizontal a vertical. Debe existir suficiente permeabilidad vertical en un pozo horizontal para que tenga beneficios en la producción.

Bajas permeabilidades horizontales y/o discontinuidades en la permeabilidad vertical pueden hacer poco atractivo un proyecto de pozo horizontal aún en yacimientos de gran espesor.

Otro aspecto frecuentemente ignorado es la anisotropía de la permeabilidad en el plano horizontal.

Un pozo que es perforado a lo largo del plano horizontal de permeabilidad preferencial siempre va a ser mejor que aquel pozo que es perforado arbitrariamente hacia cualquier dirección dentro del plano.

Por tanto, mientras mayor sea la anisotropía de la permeabilidad observada en el yacimiento, el azimut del pozo empieza a ser uno de los parámetros más relevantes a considerar.

Métodos de Cálculo del Índice de Productividad en Pozos Horizontales

El progresivo aumento de la perforación de pozos horizontales ha venido ampliando la necesidad de conocer el comportamiento de la productividad de los mismos, así como también los factores que influyen en el desarrollo productivo tales como: las propiedades del yacimiento y la geometría de pozo con respecto al yacimiento.

Varias investigaciones para el cálculo del índice de productividad han sido presentadas por diferentes autores a través de los años para pozos horizontales, estas han sido enfocadas al estudio de las características y condiciones que se presentan en el yacimiento y su respectiva producción.

Algunas de las características son los límites del yacimiento y la dependencia del tiempo que definen los diferentes cambios de presión que se pueden presentar cuando esta toca la frontera, estos modelos son los de flujo en estado estable y el flujo en estado pseudoestable.

Modelos de Flujo de Estado Estable

Dos modelos fueron desarrollados: Joshi (1988) y Furui, Zhu y Hill (2003) para el cálculo de la curva de afluencia en pozos horizontales bajo un flujo de estado estable.

En la ecuación de Joshi, el pozo se encuentra en el centro del yacimiento con un área de drenaje de forma elíptica.

El modelo de Furui et al., está basado en la geometría de un pozo horizontal en el yacimiento con un área de drenaje en forma de “caja”. La presión de yacimiento se asume constante en los límites de ambos modelos.

Modelo de Joshi

El modelo de Joshi bajo un flujo de estado estable fue desarrollado en 1988 como uno de los primeros modelos analíticos para el cálculo de la curva de afluencia en pozos horizontales.

Joshi derivó una ecuación para el cálculo de la tasa de producción para un pozo horizontal con una sección de longitud L, adicionando una solución para la resistencia de flujo en el plano horizontal con la solución para la resistencia de flujo en el plano vertical, tomando en consideración la anisotropía vertical-horizontal.

Considerando un pozo horizontal que se extiende en la dirección x con un espesor de formación h, Joshi realizó el modelo de afluencia en pozo horizontal combinando el flujo en el plano x-y y el flujo en el plano y-z separadamente.

El flujo bidimensional en el plano x-y hacia la sección de pozo de longitud L tendrá isobaras elípticas en estado estacionario, por lo que suponiendo una elipse de drenaje con una longitud de eje mayor de 2a y una presión constante en el límite del volumen de drenaje, se obtiene lo que se multiplicó por el espesor del yacimiento para aproximar la producción de un plano (una pila de pozos horizontales o una fractura totalmente conductora e infinitamente penetrante).

(Ec. 1)

El flujo vertical en el plano y-z es aproximado a ser un flujo radial desde el límite vertical localizado a una distancia h/2 desde el pozo, donde, de manera interesante, la presión sea la misma en la zona de la elíptica horizontal. Esta asunción arroja:

(Ec. 2)

La cual es multiplicado por la longitud total de la sección L del pozo, para sumar la contribución del flujo y-z en todo el pozo. Las resistencias al flujo Δp/q para los planos x-y y y-z fueron agregados juntos y se equipara a ΔP/q para que el pozo proporcione el flujo de entrada para una formación isotrópica, como se muestra en la siguiente ecuación:

(Ec. 3)

Para un yacimiento en condiciones anisotrópicas, la Ec. 3 viene a ser:

(Ec. 4)

Donde:

• q = Tasa de petróleo [BN/D].
• k = Permeabilidad [mD].
• h = Espesor [pie].
• P_e = Presión de yacimiento [lpc].
• P_wf = Presión de fondo fluyente [lpc].

Donde el radio de anisotropía es definido como:

(Ec. 5)

Donde:

• k_H = permeabilidad horizontal.
• k_V = permeabilidad vertical.

Joshi relacionó la dimensión de a en un equivalente de radio de drenaje cilíndrico como una combinación de áreas de drenaje cilíndricas y elípticas como se describe en la ecuación a continuación:

(Ec. 6)

Como se ha mencionado anteriormente, la Ec. 4 fue derivada para un pozo que se ubica en el centro del volumen de drenaje, tanto vertical como horizontalmente.

Seleccionando el apropiado valor de este parámetro, a pasa a ser importante en la aplicación de esta ecuación. Debe ser seleccionada basado en la mejor información disponible del área de drenaje.

Modelo de Furui

Furui en 2003 resolvió el problema de flujo en el área de sección transversal perpendicular al pozo. El modelo asume que el flujo cercano al pozo es radial y empieza a ser lineal en la zona distante del pozo.

Así, la caída de presión total puede ser añadida simplemente como se muestra a continuación:

(Ec. 7)

Donde:

• Δp_r = Caída de presión en el régimen de flujo radial.
• Δp_l = Caída de presión en el régimen de flujo lineal.

De acuerdo con la Ley de Darcy en coordenadas radiales, la caída de presión viene dada por la siguiente ecuación:

(Ec. 8)

Donde:

• r_t = Radio de influencia exterior de la región de flujo radial.
• k = Promedio geométrico de la permeabilidad.

(Ec. 9)

La relación 2I_ani/(I_ani+1) representa la transformación de Peaceman para flujo radial en un medio anisotrópico. Similarmente, la caída de presión en la región de flujo linear viene dada por:

(Ec. 10)

Donde:

• y_t = Punto donde comienza la región de flujo lineal.
• y_b = Distancia hacia el límite del drenaje en dirección y.

Como se puede ver, el término k_H es reemplazado por kI_ani para el caso anisotrópico en la Ec. 10. El modelado de elementos finitos indica una relación geométrica empírica adecuada para r_t y y_t viene dada a continuación:

(Ec. 11)

Sustituyendo las ecuaciones de arriba dentro de la Ec. 8 y Ec. 10, tenemos:

(Ec. 12)

y,

(Ec. 13)

Por lo tanto, la caída de presión en el plano de flujo y-z hacia el pozo es la suma de la Ec. 12 y Ec. 13, la cual se describe a continuación:

(Ec. 14)

Definiendo el valor de skin en flujo radial, tenemos:

(Ec. 15)

La caída de presión total viene dada por:

(Ec. 16)

Despejando q, e incorporando las conversiones respectivas con unidades de campo, tenemos:

(Ec. 17)

La constante en la ecuación de arriba 1,224 viene de ln(√2)-π/2. Tomando en cuenta el área de drenaje más allá de la longitud del pozo, se ha introducido el término de penetración parcial, s_R, para una entrada parcial en el pozo. La ecuación quedaría de la siguiente forma:

(Ec. 18)

Modelos de Flujo en Estado Pseudo Estable

Los modelos en estado de flujo de estado pseudo estable para curvas de afluencia, asume que no existen flujo en las fronteras del sistema y que la presión declina de manera uniforme a lo largo del yacimiento. Entre los modelos de flujo en estado pseudo estable se encuentran:

Modelo de Babu y Odeh

En el modelo de Babu y Odeh de 1989, el sistema físico asume un área de drenaje en forma de “caja” con un pozo horizontal localizado de radio r_w y longitud L=(x₂-x₁), localizado paralelamente en dirección x, como se muestra en la Figura 3.

El yacimiento tiene una longitud en la dirección x igual a b, un ancho en la dirección horizontal perpendicular al pozo (dirección y) igual a a, y un espesor igual a h.

El pozo puede tener una locación arbitraria dentro del modelo del yacimiento, excepto que el pozo debe estar en la dirección x y no puede estar demasiado cerca de ningún límite.

La localización del pozo es definida especificando la localización del “talón” del pozo, siendo x₁, y₀, y z₀, el origen relativo localizado hacia una esquina del yacimiento.

El modelo de Babu y Odeh está basado en un flujo radial en el plano de flujo y-z, con la desviación del área de drenaje desde una forma circular en este plano tomando en cuenta un factor de geometría, un flujo desde más allá del pozo en dirección x y un factor skin tomando en consideración una penetración parcial.

Es de denotar que el factor de geometría de Babu y Odeh está relacionada inversamente con el comúnmente usado factor de forma de Dietz.

Así, la ecuación de afluencia de Babu y Odeh viene dada por:

(Ec. 19)

Donde:

• A = Área de la sección transversal (ah).
• C_H = Factor de forma.
• s_R = Daño por penetración parcial.
• s = Daño de formación.

El factor de forma C_H toma en consideración la desviación de la forma del área de drenaje cilíndrica y la desviación de la ubicación del pozo en el centro del sistema.

La penetración parcial, denotado por s_R, toma en cuenta el flujo desde el yacimiento más allá del final del pozo en la dirección x, y es igual a cero cuando hay flujo completo hacia el pozo horizontal.

El aspecto clave en el modelo de Babu y Odeh son los procedimientos de cálculo del factor de forma y el cálculo de la penetración parcial como factor de daño.

Estos parámetros son obtenidos simplificando la solución de la ecuación de difusividad en un yacimiento con geometría de un paralelepípedo y comparando este con el asumido en la curva de afluencia (Ec. 19).

Babu y Odeh resolvieron la ecuación de difusividad en las tres dimensiones con una condición de contorno de pozo de tasa de producción constante usando la función de aproximación de Green.

De esta manera, la siguiente correlación para el factor de forma y el daño producto de la penetración parcial puede ser obtenida.

(Ec. 20)

o, en términos del radio de anisotropía, I_ani:

(Ec. 21)

s_R es evaluado en dos diferentes casos, dependiendo de las dimensiones horizontales del yacimiento.

El primer caso es para un yacimiento que es relativamente extenso (por ejemplo, un yacimiento que se extienda más allá de la dirección horizontal perpendicular al pozo con respecto a la dirección de su trayectoria (a > b). El segundo caso es para un yacimiento largo (b > a).

El criterio para el Caso 1 es:

Entonces,

(Ec. 22)

Donde:

(Ec. 23)

y

(Ec. 24)

Donde x_mid es la coordenada en la dirección x en el punto medio del pozo, y viene dada por:

(Ec. 25)

y

(Ec. 26)

F((4x_mid+L)/2b) y F((4x_mid-L)/2b) en la Ec. 24 es evaluado de la siguiente forma, tomando el argumento (4x_mid+L)/2b o (4x_mid-L)/2b, como X. Si el valor de X es menor que 1, F(X) es calculado con la Ec. 26 con el argumento de L/2b reemplazado por X.

Por el contrario, si X es más grande que 1, entonces F(X) es calculado mediante la siguiente ecuación:

(Ec. 27)

Con X tanto para (4x_mid+L)/2b ó (4x_mid-L)/2b

Para el criterio del Caso 2 tenemos:

Para este caso,

(Ec. 28)

Donde

(Ec. 29)

y

(Ec. 30)

Para P_xyz en la Ec. 28 es la misma definida en la Ec. 23.

Modelo de Economides et al.

Economides et al., en 1991 desarrollaron un modelo general para uno o más pozos horizontales o multilaterales integrando un punto fuente con flujo igual cero en los límites del volumen de drenaje para cualquier trayectoria o trayectorias de forma arbitraria. La Figura 4 muestra una línea fuente con una trayectoria arbitraria dentro del paralelepípedo que representa el volumen de drenaje.

Esta aproximación en el modelado ha sido usada tanto para flujo transiente y flujo de estado pseudo estable para pozos verticales, desviados y horizontales con o sin fracturas.

El índice de productividad , J, está relacionada con a la presión adimensional (expresada en unidades de campo) tenemos:

(Ec. 31)

k es el promedio geométrico de la permeabilidad que viene dada por la raíz cúbica de la permeabilidad en las tres direcciones: k = (k_xk_yk_z)^1/3 y ∑s es la sumatoria de todos los factores de daño y pseudo daño presentes.

Los cálculos dimensionados están basados en la longitud del yacimiendo, x_e y L es la longitud de la sección horizontal del pozo.

La solución generalizada de la presión adimensional p_D comienza con el comportamiento del transiente de presión de período temprano y termina con el flujo de estado pseudo estable, si la presión ha sido sentida en la frontera del sistema.

De momento, las tres dimensiones de p_D son descompuestas en una parte por dos dimensiones (2D) y en otra parte de una sola dimensión (1D), tal como se muestra en la ecuación:

(Ec. 32)

Donde C_H es el factor de forma, característicos en la configuración del plano horizontal de pozos y yacimientos, y s_x toma en cuenta los efectos de flujo vertical.

La Figura 5 contiene un resumen de los valores de factores de formas en pozos horizontales:

La expresión del factor de daño, viene dada por la siguiente ecuación:

(Ec. 33)

Se describe los efectos excentricidad en la dirección vertical, que viene dada por la siguiente:

(Ec. 34)

Donde z_w es la distancia vertical desde el pozo hasta la base de la zona productora. s_e es despreciable si el pozo se encuentra localizado cerca de la mitad vertical del yacimiento.

La manera en que trabaja el modelo de Economides es que la longitud, radio y salida azimutal son ajustados a través de la anisotropía de la permeabilidad y posteriormente estas variables ajustadas son usadas para los cálculos. Así,

Longitud:

(Ec. 35)

Radio de pozo:

(Ec. 36)

con

(Ec. 37)

y

(Ec. 38)

Donde el ángulo de salida entre la trayectoria del pozo y la dirección x del drenaje del yacimiento.

Similarmente, para las dimensiones del yacimiento tenemos:

(Ec. 39)

(Ec. 40)

(Ec. 41)

Otros desarrollos

Mutalik et al.

La correlación de Mutalik es una ecuación empírica que se utiliza para estimar el índice de productividad (IP) de pozos horizontales de petróleo.

La ecuación toma en cuenta la longitud del pozo horizontal, el radio del pozo, la permeabilidad del yacimiento, la viscosidad del petróleo y la presión diferencial entre el pozo y el yacimiento.

A continuación, se presenta la ecuación referencial de Mutalik et al.:

(Ec. 42)

Kuchuk y Goode

Kuchuk y Goode presentaron un modelo de flujo de entrada obtenido resolviendo el problema 2-D del flujo hacia una fractura que es la altura total del yacimiento, luego teniendo en cuenta la convergencia del flujo en la dirección z con un factor de daño de penetración parcial en la dirección z.

Se supone un flujo uniforme a lo largo del pozo. El modelo original de Kuchuk y Goode contiene sumaciones infinitas, por lo que es algo más difícil de manejar que el modelo de Babu y Odeh.

A continuación, se presenta la ecuación referencial de Kuchuk y Goode:

(Ec. 43)

Fuentes:

• Economides, M.; Hill, A.D.; Ehlig-Economides, C. y Zhu, D. Petroleum Production Systems 2^nd Edition. Prentice Hall. Westford, Massachusetts (2013).
• Bonilla, L.F.; Bonilla, G.A. y Escalante, E. Estudio Comparativo de la Productividad de Pozos Horizontales en Yacimientos de Black Oil para Estado Seudoestable. Facultad de Ingeniería, Universidad Surcolombiana. Revista Ingeniería y Región, Volumen 6, No. 1 (s.f.).
• Almuraikhi, A. Productivity Index of Horizontal Gas Well. West Virginia University (2017).
• User Manual IPM Prosper Version 11.5. Petroleum Experts Ltd (2010).

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