Curvas de Declinación Hiperbólica: Fundamento Matemático

En este artículo se tratará el fundamento matemático de la Curva de Declinación Hiperbólica. Como sabemos, las curvas de declinación de producción es el método más utilizado en la Estimación de Reservas, ya que son un método rápido de cálculo. Su base es la propia producción del yacimiento o pozo.

Supone que «todos los factores que han afectado al yacimiento en el pasado, lo seguirán afectando en el futuro». Las curvas de declinación de producción considera que el yacimiento es un sistema que se agota, por lo cual la producción tiende a declinar.

Se requiere suficientes datos de producción. Se debe tener mucho cuidado en la extrapolación de la curva, por lo que hay que tener «ojo clínico» ya que se debe tener en consideración la historia de eventos. Las curvas de declinación casi siempre se encuentran afectadas por:

• Cambios en los métodos de producción.
• RA/RC, tratamientos (fracturamiento hidráulico, estimulación y/o cañoneo).
• Problemas en las facilidades de producción.
• Condiciones del mercado.

Cuando la pendiente cambia, se debe estudiar la causa y efecto sobre las reservas, para no sobrestimar o subestimar las mismas. Siempre hay que tener en cuenta que es una técnica netamente Empírica, y se debe usar con Precaución.

La declinación hiperbólica es aquella en la cual la variación de la razón de pérdida o inverso de la constante de declinación (a = 1/D) con el tiempo es una constante, tal como se observa en la Ecuación 1:

(Ec. 1)

Donde:

• D: Tasa de declinación [días⁻¹].
• q: Tasa de producción [BN/D].
• t: Tiempo de producción [días].
• a: Inverso de la declinación [días].

Parámetros de cálculo de la declinación hiperbólica

Cálculo de la Tasa de Producción

Al derivar la ecuación que define la declinación hiperbólica con respecto al tiempo se tiene la Ecuación 2:

(Ec. 2)

Separando variables e integrando, nos queda la Ecuación 3:

(Ec. 3)

Donde:

• C: constante de integración.

Para t = 0, se tiene C = -1 / Di

Sustituyendo en la Ecuación 3, tenemos la Ecuación 4:

(Ec. 4)

Integrando nuevamente, tenemos:

(Ec. 5)

(Ec. 6)

(Ec. 7)

(Ec. 8)

Producción de Petróleo Acumulada

La ecuación de producción acumulada de petróleo para la declinación hiperbólica puede deducirse al sustituir la ecuación de la tasa de producción de petróleo (Ecuación 7) desarrollada anteriormente, en la definición de la producción de petróleo acumulada.

(Ec. 9)

Sustituyendo la Ecuación 7 dentro de la Ecuación 9, tenemos:

(Ec. 10)

(Ec. 11)

Pero 1 + b Di t = (q/qi)^⁻𝑏. Sustituyendo en la Ecuación 11, tenemos:

(Ec. 12)

(Ec. 13)

Graficando q^1-b vs. Np se obtiene una línea recta.

Tiempo de abandono

Para una tasa de abandono qa, se puede determinar en ta, sustituyendo ta en la Ecuación 7, como se muestra a continuación:

(Ec. 14)

Despejando el tiempo de abandono, tenemos:

(Ec. 15)

Reservas Recuperables (Npa)

Las reservas recuperables se pueden determinar en función de la tasa de abandono y en función del tiempo de abandono.

En función de la tasa de abandono, tenemos:

(Ec. 16)

En función del tiempo de abandono, tenemos:

(Ec. 17)

Procedimiento de aplicación de la declinación hiperbólica

Realizar una tabla, como la que se muestra en la Tabla 1, la cual muestra la secuencia de cálculo para obtener los valores de a y b. La declinación hiperbólica se reconoce cuando la columna 6 de la tabla presenta la condición a₁ < a₂ … < aₙ₋₁, es decir, que los valores de a se encuentran ordenados en forma creciente. Si ello sucede, se procede a calcular el término constante b en la columna 8, el cual debe ser aproximadamente un valor constante. Este valor será usado en la predicción.

(Ec. 18)

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